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2015年~2017年バックナンバー

砂時計

 30分用の砂時計を買いました。

 通販で税込・送料込みで560円、台湾から送付されてきました。

 

 上の形をしています。円錐を上下に逆さに2つ並べたような形です。

 

 まず、時間が正確かどうか確認しました。
 +2分
 ±0分(反対側にひっくり返して)
 +1分
 ±0分(反対側にひっくり返して)

 概ね正確です。

 

 ただ、横から見ていると、砂の落ちるのが遅くて、最だんだん砂の落ちるのが遅くなり、最後の方になるとラストスパートをかけるようにみえます。

 

 横からみたための錯覚ですね。

 

 砂の落ちる速度は一定ですから、上に位置する三角錐の、どの位置まで砂が来たとき、どの程度時間が経過しているのか考えてみました。

 

 円錐と仮定します。

 

 三角錐、四角錐、円錐などの錐体の体積は、以下のとおりです。円錐の体積は、高校の数Ⅲの積分で習った記憶があります。積分を知るまで、なぜ、3分の1を掛けるかわかりませんでした。

 1/3×底面積×高さ

 

 上の円錐の砂が、上の円錐の最初の砂の高さの半分の高さになるまでの時間は、全体の8分の7の時間が経過したとき、30分計なら26分15秒経過しています。

 1-(1/{(1/4)×(1/2)})

 どうりで、横から見ると、ラストスパートしているように見えるはずです。

 

 半分の時間が経過した時点の、上の円錐の砂の高さは、最初の砂の高さの0.79です。3乗すれば2分の1になります。

 1/3×π×a^3=2×(1/3×π×b^3)
 b=0.79×a

 

 あっているでしょうか。

 

 ちなみに、横から砂時計をみていると「錯覚」をおこすのですが、机の上において、斜め上から見ると、大体、残っている砂と、落ちた砂の割合はわかります。

 ただ、最後のラストスパートは、予測しにくいですね。 

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